آموزش فصل اول ریاضی یازدهم | هندسه تحلیلی و جبر

فصل اول ریاضی یازدهم یعنی هندسه تحلیلی و جبر از جمله فصل‌هایی است که همواره دانش آموزان رغبتی برای مطالعه آن ندارند. پراکندگی مباحث و از طرفی حجم زیاد این فصل همواره چالش برانگیز بوده؛ اما نیازی به نگرانی نیست. من تانیا عزیزی هستم و امروز در سایت بخون کامل‌ترین آموزش فصل اول ریاضی یازدهم را در اختیار شما عزیزان قرار می‌دهم.

در فصل هندسه تحلیلی و جبر به صورت مختصر با مفاهیمی از هندسه درباره نقطه و خط و مختصات آشنا خواهیم شد و بعد از آن به سراغ معادلات خواهیم رفت.
از نظر من بخش مربوط به معادلات درجه دو را می‌توان مهم‌ترین مبحث در فصل اول ریاضی یازدهم دانست که به صورت کامل آموزش این مبحث را هم آماده کرده ام و در اختیارتان قرار داده ام. اگر قصد دارید به صورت اعجاب انگیز این فصل را یادبگیرید با من تا انتها همراه باشید؛ در ضمن از طریق بخش آموزش ریاضی یازدهم حتما سایر مطالب مربوط به آموزش ریاضی یازدهم را هم مطالعه کنید.

آموزش فصل اول ریاضی یازدهم | معادله خط

آموزش فصل اول ریاضی یازدهم، در ابتدا با مفهوم خط شروع خواهد شد، تعدادی فرمول در فصل اول ریاضی یازدهم تجربی برای این مبحث در کتاب درسی مطرح شده است. با یادگیری فرمول‌ها و حل تیپ سوالات متنوع می‌توانید به صورت کامل این مبحث را بیاموزید.ابتدا به مفهوم خط می‌پردازیم، هر تابعی که روی محور مختصات رسم می‌شود، یک خط است و مختصات این خط را با معادله خط مشخص می‌کنیم. به معادله هر خط تابع خطی می‌گوییم.

معادله خط در دستگاه مختصات به این شکل است:

ax+by+c=0

این معادله نشان دهنده یک خط مورب است. این معادله می‌تواند، X و یا C نداشته باشد.

نکته: خطی که X ندارد موازی محور xها است و خطی که Y ندارد موازی محور Yها است.

هر خط شامل چه اجزایی است و مختصات آن چگونه مشخص می‌شود؟ هر معادله خط شامل شیب، عرض از مبدا

عرض از مبدا: فاصله روی محور Yها از مبدا محور را (عرض محل تلاقی تابع با محور Yها)

شیب: روندی که خط روی محور طی می‌کند که ممکن است نزولی و یا صعودی باشد.

برای به دست آوردن شیب تابع خطی را روی محور مختصات بررسی کرده و فاصله نقطه برخورد خط با محور تا مبدا مختصات را مشخص می‌کنیم. به تغییرات محور yها تقسیم بر تغییرات محور xها شیب خط می‌گویند.

نکته تستی: برای پیدا کردن شیب خط یا پاره خط، یک مثلث متساوی الساقین تشکیل دهید، شیب خط در اشکال برابر است با تانژانت زاویه رو به روی ضلع قائم.

تانژانت: ضلع مقابل/ ضلع مجاور 

در آموزش فصل اول ریاضی یازدهم لازم است بدانید برای نوشتن معادله خط اگر در صورت سوال مختصات دو نقطه xوy معلوم باشد، اول شیب خط را به دست می‌آوریم. تغییرات نقطه مورد نظر در محور yها تقسیم بر تغییرات نقطه مورد نظر در محور xها. شیب خط را با حرف m نشان می‌دهیم. از بین دو نقطه معلوم یکی از نقاط را به دلخواه انتخاب می‌کنیم. و در فرمول معادله خط جای‌گذاری می‌کنیم.

اگر در صورت سوال یک نقطه معلوم به ما بدهند و شیب خط را نیز در اختیار ما قرار دهند، باز هم در فرمول معادله خط جای‌گذاری می‌کنیم.

Y=mx+h

اما ممکن است در مثالی عرض از مبدا و یا طول از مبدا را در اختیار ما قرار دهند در اینجا عرض از مبدا با حرف b و طول از مبدا را با حرف a نشان می‌دهیم. در این صورت:

ممکن است سوالات معادله خط در فصل اول ریاضی یازدهم تجربی، طول از مبدا را از شما بخواهد در این صورت معادله خط را ابتدا به دست می‌آورید، سپس معادله را برابر با صفر قرار می‌دهید و x را به دست می‌آورید که برابر با طول از مبدا است.

طول از مبدا: نقطه ای که از محور xها عبور می‌کند و y این نقطه برابر صفر است. 

نکته تستی: هر گاه دو خط موازی هم باشند دارای شیب‌های برابر هستندو برعکس.

نکته تستی: هرگاه دو خط بر هم عمود باشند، حاصل‌ضرب شیب‌هایشان برابر با -1 است.( شیب یکی عکس و قرینه شیب دیگری است.)

راستی اگر درباره زمانی نزدیک به امتحانات ترم دوم خود هستید از همینجا از شما عزیزان دعوت می‌کنم تا مقاله نمونه سوال نوبت دوم ریاضی یازدهم تجربی را هم از سایت بخون مطالعه کنید که بهترین نمونه سوالات جهت آمادگی برای امتحان پایان ترم شما در آن به صورت رایگان قرار داده شده است.

آموزش فصل اول ریاضی یازدهم | یادآوری دستگاه مختصات

شناخت دستگاه مختصات پایه ریاضی محسوب می‌شود که اکثر دانش آموزان حتی در نقطه یابی نیز مشکل دارند از این جهت مروری بر این قسمت خواهیم داشت. سپس به ادامه آموزش فصل اول ریاضی یازدهم خواهم پرداخت.

دستگاه مختصات از 4 ناحیه تشکیل شده است که به صورت پادساعتگرد (خلاف جهت عقربه ساعت) مشخص می‌شوند.

• درناحیه اول X>0 و Y>0
• در ناحیه دوم X<0 و Y>0
• در ناحیه سوم X<0 و Y<0
• در ناحیه چهارم X>0 و Y<0

نکته تستی: زمانی که در سوالی با نقطه (1 ,X) مواجه شدید، X پارامتر است، یعنی بی‌شمار نقطه، هر عددی را می‌توان به دلخواه قرار داد که همه این نقاط Y=1 دارند. که تشکیل یک خط را می‌دهند. خط Y=1

زمانی که در سوالی با نقطه (Y ,1)مواجه شدید، Y پارامتر است، یعنی بی‌شمار نقطه، هر عددی را می‌توان به دلخواه قرار داد که همه این نقاط X=1 دارند. که تشکیل یک خط را می‌دهند. خط X=1

دانش آموزان عزیزی که در آزمون‌‌های آزمایشی شرکت می‌کنند و برای کنکور آماده می‌شوند، می‌توانند با مراجعه به صفحه  تست ریاضی یازدهم، سوالات متنوع تستی ریاضی یازدهم تجربی فصل اول و سایر فصل‌ها را همراه با پاسخ آن در اختیار داشته باشند.

همچنین نقطه (X,Y) در سوالات همان نقطه دلخواه است.

نقطه (t , t)، نقاطی هستند که نقاط X در آن برابر نقطه Y هستند در واقع بر روی دستگاه مختصاتهای  تشکیل خط X=Y را می‌دهند.

فاصله دو نقطه ریاضی یازدهم

برای به دست آوردن فاصله دو نقطه از رابطه فیثاغورس استفاده می‌کنیم. فاصله نقطه a و b و یا طول پاره خط AB، برابر است با :

در آموزش فصل اول ریاضی یازدهم، برای پیدا کردن فاصله دو نقطه ابتدا نقاط را روی محور مشخص می‌کنیم، سپس دو نقطه را به هم وصل می‌کنیم. 4 حالت زیر محتمل خواهد بود.

• نقاط A و B، دارای طول برابر و عرض نابرابر باشند.
• نقاط A و B، دارای عرض برابر و طول نابرابر باشند.
• نقاط A و B، دارای طول و عرض نابرابر باشند.
• فاصله نقطه A یا B از مبدا مختصات

به فرمول‌های زیر دقت کنید:

نکته1: در صورتی که عرض‌ها، Yها برابر باشند، طول پاره خط برابر است با تفاضل طول‌ها.(نیازی به فرمول ندارد)

نکته2: در صورتی که طول‌ها، برابر باشند، طول پاره خط برابر است با تفاضل عرض‌ها.

فاصله نقطه از وسط پاره خط

فرض کنید دو نقطه AB بر روی محور Xها قرار دارند بنابراین، Yها برابر صفر خواهد بود.بنابراین در مختصات نقاط A  و B برابر است با (X , 0)، زمانی که نقطه وسط پاره خط است، فاصله نقطه وسط تا نقطه A، برابر است با فاصله نقطه B تا خط وسط، بنابراین

به نکته زیر توجه کنید، برای حل سوالات تستی کاربرد زیادی دارد.

فاصله نقطه از خط ریاضی یازدهم

فاصله نقطه از خط به معنای عمود کردن است، ابتدا شکل را می‌کشیم. حال اگر یک خط فرضی داشته باشیم برای به دست آوردن فاصله نقطه از خط به شکل زیر عمل می‌کنیم:

• در مثال‌های عددی کل معادله خط را به سمت چپ برده و برابر صفر قرار می‌دهیم.
• معادله‌ به دست آمده را داخل قدر مطلق قرار بده.
• و مخرج کسر را طبق عکس زیر کامل کن. یعنی در مخرج ضریب x و y را به توان دو در زیر رادیکال برسان و اعداد را جای‌گذاری کن.(مختصات نقطه را داخل فرمول قرار بده)

نکته تستی: برای حل سوالات ترکیبی بدانید نقطه مماس بر دایره در نقطه مماسی، بر شعاع دایره عمود است. شعاع دایره همان فاصله مرکز دایره تا خط مماس است.

فاصله دو خط موازی هندسه تحلیلی

در سوالاتی که دو خط را به شما می‌دهند و از شما می‌پرسند یا این دو خط با هم موازی هستند؟ خط‌ها را مرتب کرده و شیب را به دست می‌آوریم اگر شیب‌ها با هم برابر باشند دو خط با هم موازی هستند. حال برای به دست آوردن فاصله دو خط موازی، می‌توان در معادله خط نقاط دلخواه قرار داد که برابر است با فاصله دو خط از هم، به عنوان مثال در معادله خط، X را صفر در نظر می‌گیریم، و Y را به دست می‌آوریم سپس فاصله نقطه از خط را طبق فرمول به دست می‌آوریم.

راه حل تستی: اگر دو خط موازی به فرمول : ax+by+c=0 دارید، فاصله دوخط موازی برابر است با فرمول زیر:(ابتدا معادله خط را مرتب کنید.) 

تدریس کامل فصل اول ریاضی یازدهم تجربی | معادلۀ درجۀ دوم و تابع درجۀ ٢

معادله و تابع درجه 2، یکی از مباحث چالش برانگیز در آموزش فصل اول ریاضی یازدهم محسوب می‌شوند، از این رو توصیه می‌کنم ابتدا مطلب بعدی یعنی یادآوری معادله درجه اول را مطالعه کنید و سپس به سراغ این قسمت بیایید.

معادله درجه 2 به 5 روش قابل حل است که در پایه دهم قبلا خواندید، شرط برقراری معادله درجه 2، این است که a≠0 باشد. معادله درجه 2 به فرم زیر است:

ax²+bx+c=0

 ابتدا باید معادله را مرتب کنید به طوری که بعد از مساوی حتما صفر قرار بگیرد. و کل عبارت را به یک طرف منتقل کنید.

روش اول: استفاده از Δ، که راحت‌ترین روش نیز محسوب می‌شود← Δ=b²-4ac

در این صورت ریشه‌های معادله که به صورت، X1,X2، می‌باشند، به صورت زیر تعریف می‌شوند. ابتدا از طریق فرمول دلتا را به دست می‌آوریم سپس در فرمول ریشه‌ها جای‌گذاری می‌کنیم.

برای معادله درجه 2 سه حالت محتمل است:

• Δ>0، معادله دو ریشه متمایز دارد.
• Δ=0، معادله یک ریشه متمایز دارد.
• Δ<0، معادله ریشه ندارد.

روش دوم: استفاده از´Δ←که در این حالت b زوج است. و محاسبات کمتر خواهد شد.

روش سوم: حالات خاص است که در این روش یا جمع ریشه‌ها برابر صفر است و یا جمع دو ریشه برابر b است.

روش چهارم: روش مربع کامل سازی، در مثالی که می‌بینید X²+2x، عدد 1 را کم دارد تا به اتحاد اول برسد، پس عدد 1 را اضافه و کم می‌کنیم.

روش پنجم: در این مثال از یک 3x فاکتور می‌گیریم، و یکی از عوامل xدار، باید برابر صفر باشد، پس یا x، باید صفر باشد، یا (x-5)، پس X، یا صفر است و یا 5.

در مثال بعدی که مربوط به تجزیه است، از طریق اتحاد جمله مشترک، چه عددهایی ضربشان 36 و جمع‌شان 13 خواهد بود، عدد 9 و عدد 4، دو ریشه به دست می‌آید.

تدریس کامل فصل اول ریاضی یازدهم تجربی | یادآوری معادله درجه اول

برای یادگیری معادله درجه دوم و تابع درجه دوم لازم است مروری بر تابع درجه 1 داشته باشیم. معمولا از مبحث معادله درجه اول برای کنکور سوالی مطرح نمی‌شود اما برای رسیدن به پاسخ سوالات لازم است.

معادله درجه اول برابر است با :ax=b

• اگر a≠0← معادله فقط و حتما یک ریشه دارد.
• اگر b=0 و a=0 ← معادله بی‌شمار ریشه دارد.
• اگر b≠0 و a=0← معادله جواب ندارد.

نکته: هر معادله‌ای که به یک عبارت همواره درست برسد، به این معنی است که این معادله به ازای تمام مقادیر دامنه برقرار است. و بی‌شمار ریشه دارد.

نکته: هر معادله‌ای برابر با یک عبارت همواره درست باشد، مجموعه جواب برابر R نیست، چرا که برای این منظور دامنه نیز باید برابر R باشد.

دامنه: عددهایی که به جای X قرار می‌دهیم، اما لزوما در معادله صدق نمی‌کند.

مجموعه جواب: عددهایی که در معادله صدق می‌‌کند.

نکته: هر گاه هر معادله‌ای به یک عبارت همواره غلط برسد، مانند: 1=0، در این صورت معادله به ازای هیچ مقداری برقرار نیست و معادله جواب ندارد.

تغییر متغیر در معادله ریاضی یازدهم تجربی

معادله بالا را در نظر بگیرید، که یک معادله درجه 4 است، بیشترین توان X عدد 4 است. اما می‌توان با تغییر متغیر، در این حالت x²=t قرار دهیم، و در نتیجه مقدار x، در تابع به t²، تغییر پیدا می‌کند. ابتدا معادله را مرتب می‌کنیم، و برابر صفر قرار می‌دهیم. و سپس معادله را از طریق روش‌هایی که در بالا توضیح دادیم، حل می‌کنید. در مثال اول از روش حالت‌های خاص استفاده کردیم.

می‌توان از روش تجزیه هم استفاده کرد، 2 عدد می‌‌نویسیم که ضربشان 16 و جمعشان 15 باشد، عدد 1 و عدد 16، در این حالت x² برابر 1 و x برابر +1 و -1 خواهد بود. t را به دست می‌آوریم. اگر t برابر 1 باشد پس x برابر +1یا -1 است، و یا اگر x برابر -16 باشد، معادله جواب ندارد چرا که x²، مثبت و -16، عددی منفی است.

مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه 2

اگر جمع 2 عدد برابر با s و ضرب آن‌ها برابر با p باشد، آن دو عدد ریشه‌های معادله x²-sx+p=0 هستند.

در معادله درجه 2، اگر a و c هم علامت نباشند، معادله دارای 2 ریشه متمایز است. a ضریب x² و c عدد ثابت می‌باشد. وقتی a و c مختلف العلامت باشند، عدد منفی خواهد شد.

ax²+bx+c=0 → a×c < 0

در حل سوالات معادلات درجه دوم لازم است که ابتدا حتما معادله را مرتب کنیم، سپس با به دست آوردن حاصلضرب ریشه‌ها شرط منفی بودن آن را بررسی می‌کنیم. در برخی از سوالات لازم است حتما تعیین علامت را انجام دهید.

شروط وجود دو ریشه هم علامت:

• دو ریشه هم علامت حقیقی:P>0 و Δ>0
• دو ریشه هم علامت مثبت: P>0 و Δ>0 و S>0
• دو ریشه هم علامت منفی: P>0 و Δ>0 و S<0
• شرط وجود دو ریشه قرینه: S=0
• شرط وجود دو ریشه قرینه حقیقی: S=0 و Δ>0
• شرط وجود دو ریشه معکوس یکدیگر: P=1 و Δ>0

نکته: توجه داشته باشید، هنگام حل سوالات تستی، جواب شروط وجود دو ریشه را اشتراک بگیرید.

نوشتن معادله درجه دوم با داشتن ریشه ها

گاهی برای حل یک مسئله لازم است برای آن معادله ای بنویسیم و سپس آن معادله را حل کنیم. در برخی موارد، این معادله درجه 2 خواهد بود. مثلاً می‌خواهیم با مجموع و حاصل ضرب دو عدد، معادلهٔ درجه دومی بسازیم که آن دو عدد ریشه های معادله باشند.
باشند. معادلهٔ مورد نظر را می توان به شکل زیر نوشت:

(x – α)(x -β)=0 ⇒   x2-(α+β)x+αβ =0   ⇒  x2-Sx+P =0

 ماکزیمم و مینیمم تابع درجه دوم یازدهم تجربی

هر سهمی یک max و یک min دارد، یعنی یک بیشترین و یک کمترین مقدار، max و min در واقع مقدار y یا عرض از مبدا را نشان می‌دهد.

ماکزیمم و مینیمم سهمی:  f (x)  = ax2+bx +c→ a≠0

اگر a برابر صفر باشد، خط راست خواهد شد. در معادلات به علامت a توجه می‌کنیم، اگر مثبت باشد سهمی رو به بالا است و نقطه min دارد، اگر a منفی باشد، سهمی رو به پایین است و نقطه max دارد.

آموزش فصل اول ریاضی یازدهم | صفرهای تابع درجه ٢

صفر تابع یا ریشه تابع: همان طول محل تلاقی تابع با محور Xهاست.

حال اگر ضابطه تابع را داشته باشیم و بخواهیم صفرهای تابع را به دست بیاوریم، باید معادله f (x)  = 0 را حل کنیم.

اگر صفرهای تابع درجه 2،x1و x2 باشند، معادله آن به صورت f (x)  =a(x-x1)(x-x2) است.

تدریس معادلات گویا و رادیکالی یازدهم تجربی

در ادامه این مبحث روش حل معادلات گویا و رادیکالی را به صورت کامل توضیح داده‌ایم. برای مشاهده نمونه سوالات بیشتر این مبحث به مقاله نمونه سوال ریاضی یازدهم و برای مشاهده پاسخ سوالات کتاب درسی به مقاله گام به گام ریاضی یازدهم مراجعه کنید.

حل معادلات گویا یازدهم تجربی

معادلات گویا: معادلات گویا یا کسری به معادلاتی گفته می‌شود که مجهول در مخرج کسر باشد.

برای حل معادلات گویا:

قبل از هر کاری، مخرج‌ها را تجزیه می‌کنیم و مخرج مشترک می‌گیریم و سپس طرفین و وسطین انجام می‌دهیم تا معادله از حالت کسری خارج شود، سپس معادله را مرتب می‌کنیم و با استفاده از روش‌هایی که قبلا توضیح دادیم، معادله را حل می‌کنیم. در نهایت جواب‌هایی که به دست آمده نباید هیچ یک از مخرج‌های معادله اصلی را صفر کند.

مثال1: در مثال اول مخرج مشترک نمی‌گیریم، چون یک کسر داریم. از طرفین، وسطین شروع می‌کنیم، مخرج کسر را در طرف دیگر تساوی ضرب می‌کنیم و برابر با صورت کسر قرار می‌دهیم. طبق اتحاد مزدوج دو پرانتز را در هم ضرب می‌کنیم، این معادله گویا دو جواب دارد.

مثال2: در این مثال از طرفین وسطین شروع می‌کنیم، سپس عوامل دو طرف تساوی را دو به دو باهم ساده می‌کنیم، سپس معادله را با استفاده از روش تجزیه حل می‌کنیم.

نکته: X=0 باعث می‌شود مخرج کسر صفر شود، بنابراین X برابر صفر نخواهد بود و غیر قابل قبول است.

مثال3: ابتدا مخرج مشترک می‌گیریم، چرا که دو کسر در یک طرف تساوی با هم جمع می‌شوند. برای این کار مخرج دو کسر را در هم ضرب می‌کنیم و صورت‌های هر کسر را نیز در مخرج کسر دیگر ضرب می‌کنیم، سپس عواملی که با هم ساده می‌شوند را ساده می‌کنیم. معادله را باز نویسی می‌کنیم، طرفین وسطین انجام می‌دهیم و مخرج‌ها را از بین می‌بریم، سپس معادله ئذجه 2 را با استفاده از حالات خاص حل می‌کنیم. جواب X=1، غیر قابل قبول است چرا که مخرج معادله اصلی را صفر می‌کند.

حل معادلات رادیکالی یازدهم تجربی

معادلات رادیکالی یا گنگ: به معادلاتی گفته می‌شود که مجهول در زیر رادیکال قرار دارد.

مثال1: ابتدا دو طرف تساوی را به توان 2 می‌رسانیم تا رادیکال از بین برود، دوباره معادله را می‌نویسیم و معلومات معادله را به یک سمت برده، سپس X را به دست می‌آوریم، جواب را در معادله اصلی قرار داده اگر دو طرف برابر باشد، پاسخ صحیح است.

مثال2: ابتدا 2 طرف معادله را به توان 2 می‌رسانیم، همانطور که می‌بینید دو عبارت از هم کم شده بنابراین کل عبارت را به توان 2 می‌رسانیم و از اتحاد اول استفاده می‌کنیم. سپس به یک معادله درجه دو می‌رسیم، معادله را برابر صفر قرار می‌دهیم. معادله از حالت خاص پیروی می‌کند. جواب‌ها را در معادله اصلی قرار می‌دهیم اگر دو طرف برابر باشد جواب درست است.

مثال3: ابتدا دو طرف تساوی را به توان دو می‌رسانیم، طرف اول معادله چون جمع دو عبارت است، باید از اتحاد اول برای به توان رساندن استفاده کنیم. در این صورت هماطور که می‌بینید عبارت طولانی‌تر شد، پس در این صورت عدد 1 را به طرف دیگر تساوی می‌بریم و رادیکال را به تنهایی در یک طرف تساوی قرار می‌دهیم. طرفین را به توان 2 می‌رسانیم و در نهایت معادله درجه 2 را برابر صفر قرار می‌دهیم. و جواب‌ها را در معادله قرار داده اگر صدق کند پاسخ صحیح است.

جمع‌بندی فصل اول ریاضی یازدهم تجربی

درس اول: هندسه تحلیلی: در مورد معادله خط صحبت کردیم، با توجه به داده‌های مسئله، ابتدا شیب خط را به دست آورده، سپس در فرمول‌هایی که قبلا در این مقاله به آن پرداختیم، جای گذاری می‌کنیم.

درس دوم: در مورد معادله درجه دوم و تابع درجه 2، صحبت کردیم. روش‌های حل معادله درجه دوم را توضیح دادیم، که در پایه یازدهم بیشتر از روش دلتا و تغییر متغیر و تجزیه استفاده می‌کنیم. حاصل‌ضرب و جمع ریشه‌ها از مباحث مهم این فصل به شمار می‌رود.

درس سوم: توابع رادیکالی و توابع گویا هستند، برای حل توابع گویا، از طرفین وسطین و مخرج مشترک گیری استفاده می‌کنیم. همچنین اتحادها در یادگیری این مبحث نقش بسیار مهمی دارد. همچنین برای حل توابع  رادیکالی، ابتدا به فرم معادله دقت می‌کنیم، اگر تغییری در فرم کلی نیاز باشد، معادله را بازنویسی می‌کنیم. طرفین را به توان رسانده و معادله را برابر صفر قرار می‌دهیم.

سوالات متداول در مورد تدریس درس اول ریاضی یازدهم تجربی

• آیا در این مقاله برای هر مبحث مثال حل شده است؟
  بله، برای مباحث مختلف تمرین حل شده است.
• در این مقاله چه مباحثی از فصل یک ریاضی یازدهم تدریس شده است؟
  در این مقاله هر سه درس فصل اول به صورت کامل تدریس شده است.
• در این مقاله نکات تستی آموزش داده شده است؟
  بله، در این مقاله نکات تستی نیز آموزش داده شده است.